Эффект Кориолиса

Лысенко Лев Николаевич, д-р техн. наук, профессор.

кафедра «Динамика и управление полетом ракет и космических аппаратов»

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Э. БАУМАНА

Редколлегия:

А.А. Александров (председатель, научный редактор серии), академик РАРАН, д-р техн. наук, профессор

В. Т. Калугин (зам. председателя), д-р техн. наук, профессор

Л.Н. Лысенко (зам. председателя), академик РАРАН, заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, профессор

И. В. Бармин, чл.-корр. РАН, заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, профессор

А.Б. Борзов, чл.-корр. РАРАН, д-р техн. наук, профессор

В.В. Зеленцов, чл.-корр. РАРАН, канд. техн. наук, доцент

В.Н. Зимин, д-р техн. наук, ст. науч. сотрудник

В.М. Кашин, чл.-корр. РАН, академик РАРАН, д-р техн. наук, профессор

С.В. Коршунов, канд. техн. наук, доцент

Г.О. Котиев, д-р техн. наук, профессор

Г.А. Кувыркин, д-р техн. наук, профессор

А.Г. Леонов, чл.-корр. РАРАН, д-р техн. наук, профессор

А.Г. Лесков, д-р техн. наук, ст. науч. сотрудник

В.Н Наумов, заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, профессор

С.В. Резник, д-р техн. наук, профессор

В.В. Селиванов, академик РАРАН, заслуженный деятель науки РФ, д-р техн. наук, профессор

В.А. Тарасов, чл.-корр. РАРАН, д-р техн. наук, профессор

С.В. Ладов (отв. секретарь), канд. техн. наук, доцент

Рекомендовано Федеральным учебно-методическим объединением в системе высшего образования по укрупненной группе специальностей и направлений подготовки 24.00.00 «Авиационная и ракетно-космическая техника» в качестве учебного пособия для лиц (студентов, аспирантов, адъюнктов), обучающихся по основным образовательным программам высшего образования по направлениям подготовки бакалавриата/магистратуры 24.ОЗ.01/24.04.01 «Ракетные комплексы и космонавтика», специальностям 24.05.04 «Навигационно-баллистическое обеспечение применения космической техники» и 24.05.01 «Проектирование, производство и эксплуатация ракет и ракетно-космических комплексов».

Внешняя баллистика: учебное пособие / Л. Н. Лысенко. — Москва: Издательство МГГУ им. Н. Э. Баумана, 2018. — 328 с.: ил.

Изложены основы внешней баллистики снарядов и ракет, методики расчета параметров их движения, определения характеристик точности стрельбы, методы и алгоритмы баллистического обеспечения испытаний. Существенное внимание уделено современной трактовке предметной области научной дисциплины, уточнению ее структуры, круга решаемых задач, объединяемых термином «прикладная внешняя баллистика». Для студентов, аспирантов, курсантов, адъютантов и слушателей гражданских и военных высших учебных заведений, а также для специалистов в области ракетноартиллерийского вооружения.

«Факультет специального машиностроения (СМ) М ГГУ им. Н.Э. Баумана — преемник оборонных факультетов — по праву снискал славу кузницы инженерных и научных кадров для ведущих организаций военно-промышленного комплекса. Среди выпускников вуза — выдающиеся генеральные и главные конструкторы, известные ученые, руководители всемирно признанных проектных и научно-исследовательских организаций, сотрудники которых ковали оружие Победы в годы Великой отечественной войны, решали проблемы формирования ракетно-ядерного щита Родины, создавали и продолжают создавать образцы ВВТ, составляющие основу обороноспособности нашей страны и по характеристикам значительно превосходящие иностранные аналоги…»

Ректор МГТУ им. Н.Э. Баумана, д-р техн. наук, профессор А.А. Александров.

Раздел 1

УСЛОВИЯ ПОЛЕТА И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДВИЖЕНИЯ ЛЕТАТЕЛЬНОГО АППАРАТА.

Глава 1

СИЛЫ И МОМЕНТЫ, ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ЛЕТАТЕЛЬНЫЙ АППАРАТ В ПОЛЕТЕ.

1.1. Системы координат, используемые при математическом описании и движения снарядов (ракет).

Движение любого твердого тела, в том числе и снаряда, можно математически описать, лишь введя в рассмотрение ту или иную систему отсчета — систему координат (СК). В баллистике, и в частности во внешней баллистике, используется набор различных типов СК, выбор которых определяется конкретными особенностями решаемой задачи. С формальной точки зрения выбор той или иной СК не имеет принципиального значения, однако ее удачный выбор может упростить изучение особенностей движения рассматриваемых летательных аппаратов (ЛА).

1.2. Сила тяжести, влияние поля тяготения и вращения Земли на движение летательного аппарата.

Введение в рассмотрение криволинейных СК в той или иной степени связано с применением определяющих понятий геодезии и, в целом, с обсуждением факторов, обусловленных формой Земли и влиянием ее вращения. Это факторы вводятся в виде комплексного силового фактора, объединяющего силу тяготения, центробежную силу инерции и кориолисовы силы, вызываемые вращением связанной с земной поверхностью базовой СК. Переносное (центробежное) ускорение совместно с ускорением силы земного тяготения вызывает действие ускорения свободного падения. Кориолисово ускорение, таким образом, остается единственным фактором, позволяющим учесть влияние вращения Земли на относительное движение ракет и снарядов. При этом очевидно, что степень его влияния будет тем больше, чем больше полетное время. Правомерно полетное время считать функцией дальности стрельбы. Во внешней баллистике принято полагать, что учет влияния вращения Земли целесообразен, если дальность стрельбы превышает 10 км. Превалирующая форма поверхности Земли определяется поверхностью ее океанов (они занимают примерно 71% обшей плошали поверхности) и материков. Физическая поверхность Земли в целом настолько сложна, что подробно описать ее с помощью математических формул практически невозможно. Поэтому вместо физической рассматривают более простую поверхность, которая в той или иной мере близка к истинной. В первом приближении Землю можно считать сферой. К истинной форме Земли ближе эллипсоид вращения, еще ближе — трехосный эллипсоид. В действительности форма Земля значительно сложнее даже трехосного эллипсоида. Более адекватна ей фигура, называемая геоидом. Поверхность геоида обладает следующим свойством: в каждой точке геоида сила тяжести направлена по нормали к поверхности. Поверхность геоида совпадает со средним уровнем Мирового океана, а на материках — с уровнем воды в воображаемых каналах, сообщающихся с океаном. Для решения задач геодезии и картографии геоид заменяют эллипсоидом вращения. Общим земным эллипсоидом (ОЗЭ) называют эллипсоид вращения, поверхность которого с некоторым приближением принимается за земную поверхность на любом участке Земли (на любом материке, в любом районе Мирового океана). Для обработки результатов геодезических измерений на отдельных участках земной поверхности используются референц-эллипсоиды, наиболее точно (в смысле минимума суммы квадратов отклонений реальной поверхности от поверхности эллипсоида) совпадающие с соответствующими земными участками. В России используют референц-эллипсоид Красовского, который имеет следующие параметры:

  • большая полуось (средний радиус экватора) а = 6 378 245 м;
  • малая полуось b = 6 356 863 м;
  • сжатие эллипсоида (характеризует отклонение эллипсоида от шара) α = 0,003352.

Для эллипсоидальной Земли географический меридиан имеет форму эллипса. На рис. 1.11 изображен меридиан (эллипс) точки вылета или точки старта O0 Прямая РТ есть касательная к меридиану (эллипсу) в точке O0. Прямая С2O0А, перпендикулярная касательной РТ, называется геодезической вертикалью точки O0. Угол Вr между геодезической вертикалью и плоскостью экватора называется геодезической широтой.

Рис. 1.11. Геоцентрическая, геодезическая и местная вертикали.

Географическая (астрономическая) система координат λ, φr. Эта система определяет положение точки O0 на геоиде и используется при астрономических наблюдениях, проводимых в целях применения РАВ.

При рассмотрении задач внешней баллистики допустимо считать, что поверхность Земли представляет собой эллипсоид вращения. Средняя разность Br — φr между геодезической и географической широтами на поверхности Земли составляет около 5 угл. с. Она практически не влияет на определение параметров движения ракет и тем более снарядов, поэтому в дальнейшем будем считать, что Br = φr, т. е. полагать, что плоскости местного и геодезического горизонтов совпадают. Индекс «r» в обозначении геодезической широты далее будем опускать.

Положение оси O0Xg нормальной земной СК в плоскости местного горизонта задается азимутом направления стрельбы А0 — углом, отсчитываемым по ходу часовой стрелки от северного направления геодезического меридиана точки старта O0 до заданного направления стрельбы (рис. 1.13). При А0 = 0 стрельба ведется на север, при А0 = 90° — на восток, при А0 = 180° — на юг, при А0 = 270° — на запад.

Рис. 1.13. Положение оси O0Xg нормальной земной системы координат в плоскости местного горизонта точки вылета.

Земля вращается вокруг своей оси практически равномерно и совершает полный оборот за одни звездные сутки (23 ч 56 мин 4 с, т. е. 86 164 с), поэтому ее угловая скорость Ωз = 7,292 · 10-5 с-1. Вращение происходит с запада на восток.

Нецентральное поле. Это поле вводится в рассмотрение при решении модельных задач баллистики для дальностей стрельбы 500 км < L < 2000 км., и представляет собой поле нормального земного сфероида Клеро.

Проекции ускорения свободного падения на оси сферической системы вычисляют по формулам

gr =  aтr + aцr; gφrц = aтφц + auφ

Таким образом, точность баллистических расчетов зависит от допущений, принимаемых относительно формы поверхности Земли и поля силы тяжести.

Наконец, кратко обсудим влияние факторов вращательного движения Земли на полет снарядов (ракет).

Как известно, Земля совершает в пространстве сложное движение — годовое обращение вокруг Солнца и суточное вращение относительно своей оси; земная ось совершает нутационное и прецессионное движения. Однако при исследовании движения ракет и снарядов, ввиду кратковременности их полета, считают, что движение Земли по орбите вокруг Солнца можно принимать за прямолинейное равномерное поступательное движение; нутационные колебания Земли и ее прецессию не учитывают, так как эти движения характеризуются очень малыми угловыми скоростями.

Влияние суточного вращения Земли на полет ракет и снарядов можно оценить, если рассмотреть их движение в инерциальной геоцентрической СК. В момент выстрела (пуска) начальная скорость ракеты при относительном движении – V0, а при абсолютном движении Va0 = V0 + Ve0, где Ve0 — линейная скорость ракеты, определяемая переносным вращательным движением Земли и зависящая от географической широты места расположения стартовой позиции.

На полюсах Ve0 = 0; на экваторе Ve0 приблизительно равна 1674 км/ч, или 465 м/с.

Земля вращается относительно полярной оси с запада на восток, поэтому при запуске в восточном направлении Va0 > V0 , а при запуске в западном направлении (против вращения Земли) Va0 < V0.

При свободном полете траектория абсолютного движения ракеты класса «земля – земля» в первом приближении, т. е. для сферической модели Земли с равноконцентрическим распределением масс, является плоской кривой, и плоскость ее будет занимать неизменное положение в пространстве. В то же время в результате вращения Земли изменится в инерциальном пространстве положение цели…

стр. 56: Для модели нормального сфероида Земли наибольшее значение кориолисова ускорения численно равно примерно 1,5 % ускорения свободного падения на каждую тысячу метров экваториальной проекции V относительной скорости ЛА. Расчеты показывают, что влияние вращения Земли на полет снарядов целесообразно учитывать, начиная с дальности стрельбы свыше 10 км., а для дальностей, превышающих 30 км., учет этого влияния становится необходимым.

Кобелев Владимир Николаевич, профессор.

Московский государственный авиационный технологический университет (цикл лекции: «Запуск космических аппаратов»), 25.06.2020 г.

   1.3.2. Массовые силы.

      стр. 10-11: «…Сила притяжения 𝐺 = 𝑚𝑔, действует на ракету в полете и уменьшается по мере уменьшения массы 𝑚 = 𝑚0 − ∫ 𝑚 • 𝑠 𝑡𝑘 0 𝑑𝑡 Ускорение притяжения меняется с высотой полета и равно 𝑔 = 𝑔0 ( 𝑅 𝑟 ) где R=6371,1 км – радиус сферической Земли, а 𝑟 = 𝑅 + 𝐻 км – расстояние от центра сферической Земли до центра масс ракеты находящейся на высоте H от Земли. Ускорение 𝑔0 направлено к центру Земли и равно 9,8204 м/с2 для среднего радиуса Земли. Для вращающейся Земли вследствие действия центробежной силы 𝑔0 зависит от широты. Наибольшее значение 𝑔0𝑚𝑎𝑥 м/с2 действует на полюсах, наименьшее 𝑔0𝑚𝑖𝑛 м/с2 действует на экваторе…»

   1.5. Траектория полета РКН.

      стр. 23: «…Т.к. Земля вращается, то линейная скорость вращения любой точки поверхности Земли 𝑉з = 463 𝑐𝑜𝑠 𝜙м/сек. То есть при запуске ЛА с запада на восток к скорости ЛА относительно поверхности Земли надо добавить скорость вращения Земли, при стрельбе с востока на запад – вычесть эту скорость. Угол 𝜙 есть широта точки старта. Наибольшая скорость запуска получается при стрельбе с экватора на восток (𝜙 = 0). Именно поэтому космодромы стремятся создавать в приэкваториальных зонах. КА движутся по орбите расположенной в плоскости экватора на высоте 𝐻 = 36000 км (𝑅 = 42371 км) имеет период обращения 𝑇 = 2𝜋 1 с. То есть период обращения этого КА равен периоду обращения точки, расположенной на поверхности Земли, лежащей на экваторе…»

Мельников Пётр Николаевич, кандидат технических наук.

ведущий научный сотрудник Национального исследовательского университета «МИЭТ», Москва, Зеленоград.

Терпигорев Михаил Александрович, кандидат технических наук

старший научный сотрудник Национального исследовательского университета «МИЭТ», Москва, Зеленоград.

Приведена методика перехода от табличного способа расчета траектории полета артиллерийского снаряда к расчету траектории полета снаряда способом численного интегрирования системы дифференциальных уравнений задачи внешней баллистики.

      стр. 91: «…В дополнение к отмеченному, в системе дифференциальных уравнений учитывается влияние факторов, которых нет в табличном методе, например, влияние на параметры траектории снаряда вращения Земли вокруг своей оси. Фактор суточного вращения Земли приводит к учету изменения силы тяжести снаряда, учету зависимости силы тяжести от широты стояния орудия, к учету влияния ускорения Кориолиса на снаряд…»

Валерий Савельев, 30.11.2019.

Пример задачи из баллистики.

Пушка выстрелила ядро в северном направлении. Оно летело в течение 1 минуты. Его средняя горизонтальная скорость составляла 600 м/с. Необходимо определить расстояние, на которое отклонилось ядро, если выстрел произведен на широте 45o.

Для начала рассчитаем кориолисово ускорение. Сделать это можно по следующей формуле:

a = 2*ω*v*sin(θ).

Появившаяся функция синуса учитывает радиальную скорость приближения ядра к оси вращения Земли. Несложно рассчитать, что для нашей планеты ω = 7,3*10-5 рад/с. Тогда получаем:

a = 2*7,3*10-5*600*sin(45o) = 0,062 м/с2.

Расстояние, на которое сместится ядро, будет равно:

d = 1/2*a*t2 = 1/2*0,062*602 = 111,6 м.

Из этого результата видно, что эффект Кориолиса является существенным при определении траекторий полета снарядов в баллистике.

Лекции по механике полёта, Часть 2.

Выполнили: Архипова И. А., Захаров А. В.

Преподаватель: Санников В.А.

Санкт-Петербург, 2005г.

Используемые сокращения:

ЛА – летательный аппарат

ПФ – передаточная функция

СУ – система управления

СН – система наведения

БР – баллистическая ракета

ПУ – пусковая установка

РДТТ – ракетный двигатель твёрдотопливный

c.к. – система координат

ц.м. – центр масс

Глава 1.

Траектории ЛА.

Введение.

… Проектные баллистические расчёты проводятся в несколько приближений. Сначала используются упрощённые модели динамики и определяется идеальная траектория, при которой не учитывается влияние вращательного движения на движение ц.м.. Далее модели движения усложняются. Учитывается вращение Земли, нецентральность гравитационного поля Земли, упругость конструкции ЛА, движение жидкого наполнения ЛА, неидеальность СУ…

Глава 2.

Расчёт траектории баллистических ракет и ракет — носителей космических ЛА.

Введение.

В главе рассматриваются методы расчёта траектории летательных аппаратов (ЛА), управляемых на активном участке. К таким ЛА относятся, например, баллистические ракеты (БР) и ракеты — носители космических ЛА. Траектория этих ЛА соизмерима с размерами Земли и простирается на большую высоту …

Уравнение для расчёта траектории активного участка. Методы расчёта.

… Движение БР на активном участке происходит по задаваемой программной траектории. Расчёт активного участка в зависимости от требуемой точности  может производиться как с учётом, так и без учёта кривизны Земли. При этом поле земного тяготения принимается центральным, изменяющемся с высотой или соответственно параллельным и постоянным, если не учитывается кривизна траектории …

Расчёт пассивного участка траектории БР и ракет-носителей космических аппаратов.

Рассмотрим характер баллистической траектории БР от старта до точки падения.

… Для расчёта основной части пассивного участка, расположенного в разряжённых слоях атмосферы, используются выводы так называемой эллиптической теории. Участок ВС рассчитывается с учётом сопротивления воздуха и кривизны Земли.

Основные допущения эллиптической теории.

1. Пренебрегаем сопротивлением атмосферы, а также всеми космическими силами (например, световым давлением). ЛА рассматривается как материальная точка с постоянной массой.

2. Движение точки рассматривается в центральном поле земного тяготения, т.е. в каждой точке траектории сила тяготения направлена к центру Земли, кривизна которой учитывается и зависит от расстояния до этого центра. Величина силы земного тяготения определяется законом всемирного тяготения.

3. Движение рассматривается в инерциальной с.к., неподвижной относительно звёзд. Начало этой системы помещается в центре Земли. Орбитальное движение Земли не учитывается, но учитывается суточное вращение Земли. Плоскость стрельбы в этой с.к. будем называть абсолютной плоскостью стрельбы. Абсолютная плоскость стрельбы – это плоскость, проходящая через вектор начальной абсолютной скорости и радиус-вектор точки конца активного участка относительно центра Земли. Заметим, что вектор начальной абсолютной скорости не равен скорости в конце активного участка, которая получена из расчёта активного участка без учёта вращения Земли. Связь между этими скоростями будет рассчитана в дальнейшем…